Dans cette étude 2020, débutée pour cerner un peu plus les propriétés du pentagone Penta15 découvert en 2015, et du pavage engendré, de nouveaux éléments m'ont conduit à approfondir la recherche de pavages ayant les mêmes éléments de symétrie que le pavage par Penta15. Au passage j'ai rencontré quelques nouveaux pavés (pentagones, quadrilatères, hexagones assez intéressants, très liés à Penta15 et à l'angle 150°, et permettant de construire des pavages ayant les propriétés cherchées, au besoin avec d'autres pavés connus).
Le premier pavage est un pavage dérivé d'un pavage "islamique" (pavage de Diane) constitué de rosaces de carrés et triangles équilatéraux autour d'hexagones réguliers, rosace légèrement modifiée en remplaçant un carré et un triangle par un quadrilatère (que j'appelle Quadri15) dont le grand côté a même longueur que le côté BC de Penta15; Ce qui rend cette rosace tronquée, et lui supprime toute symétrie.
Enfin trois hexagones constitués de deux quadrilatères Quadri15 symétriques (symétrie axiale ou centrale) vont créer des pavages ayant les propriétés cherchées, toujours avec l'aide de pavés classiques, en l'occurence triangles équilatéraux. J'ai appelé ces hexagones Hexa15, HexaD15, HexaG15 pour ne pas avoir à trop répéter leur qualificatif un peu long.
Quelques images pour vous donner envie de prolonger cette étude, je suis sûr qu'il y a encore beaucoup à faire.
1) Des questions à propos de Penta15 et du pavage engendré, quelques premières réponses (peuvent être négligées en première lecture)
1.0 Pourquoi ? ou 1.1 QR2020 ou 1.2 Réponses 1.3 Réponses en Images (présentation des blocs de 3 pavés et étude de leurs propriétés)
La rubrique 1.3 aborde les propriétés de Penta15, et celles de deux blocs de trois pavés qui joueront un grand rôle dans notre recherche. Il y est aussi question de nos tatonnements et des divers essais pour reconnaitre des éléments déterminants dans le pavage pentagonal par Penta15, mais elle est à reprendre.
2) La recherche d'une ossature de type "pavage islamique"
3) Les hexagones évoqués plus haut et deux nouvelles ossatures avec ces hexagones.
3.1 Blocs de 3 pavés Penta15 et présence d'hexagones Hexa15 3.2 Leurs assemblages
3.3 Nouvelle ossature avec Quadri15 et 3.4 Variations sur le thème Quadri15
3.5 Nouvelle ossature avec Hexa15 et 3.6 Variations sur le thème Hexa15
3.7 Des pavages issus du pavage pentagonal par Penta15
3.8 Deux derniers pavés et les pavages associés, pour une ossature n°4 (très proche des précédentes)
4) Conclusion de cette première partie : Les images des trois pavages avec, éventuellement, superposition complète ou partielle
Une remarque : tous les pavages rencontrés ont des côtés isométriques , sauf "quelques" côtés. Beaucoup ont tous leurs côtés isométriques. Si l'on prend pour unité la longueur commune des trois côtés isométriques du pavé Penta15, les côtés des éléments des pavages ont pour longueur 1 ou 2 ou la longueur, notée ir, du seul côté irrationnel du pavé Penta15, côté dont on a déjà beaucoup parlé.
5) Une tentative de synthèse provisoire : les liens entre Penta15, Quadri15 et Hexa15 avec la présence de l'angle 150° et d'autres éléments rencontrés dans cette étude ; ces liens et cet angle sont peut-être les principales raisons du succès du pentagone Penta15 à paver le plan.
6) Annexes complémentaires : Pavages1Hexa15, Pavages2Hexa15 ,Pavages3Hexa15 (recherche de tuiles avec les derniers pavages trouvés) ,
VariationsAutresPavages , VariationsPavagesDetails et AutresPavages2 et VariationsAutresRosaces
7) Complément technique : une page à propos des divers accolements ou superpositions des divers blocs
Sommaire Partie II ( ... des prolongements! , en particulier à propos d'un hexagone pavant le plan)
8) Poursuite de la recherche de tuiles-blocs pavant le plan, et de forme proche des précédentes. Présentation des pavages associés.
9) Etude d'un hexagone pavant le plan ("HexaBloc10" ou plus simplement Hexa10) , dérivé des formes précédentes. Et un des pavages qu'il génère, qui a les mêmes éléments de symétrie que le quinzième pavage pentagonal.
10) Et si cet hexagone était le fruit d'un hexagone régulier, déformé assez simplement ? ... Et que notre bon vieux pavage par hexagones réguliers cachait le quinzième pavage pentagonal du plan une fois "compressé" ou "décompressé"?
11) Rosace, hexagone régulier, carrés, triangles équilatéraux. A voir dans la Rosace de Diane ("rosaceDiane.html" en cours ) et ce qu'elle cache.
12) Le pavage par "HexaBloc10/Hexa10" peut aussi être vu comme un pavage par deux familles de triangles (équilatéraux et isocèles 30°,75°,75), ou comme un pavage par un quadrilatère, formé d'un triangle équilatéral et d'un triangle isocèle. Voir PavagesDeuxTriangles. Mais aussi pavage par deux losanges équilatéraux. Voir PavageDeuxLosanges.
13) Comparaison avec d'autres hexagones classiques et déjà connus. Et parmi eux les hexagones construits sur un triangle équilatéral , mode de construction qui semble très important pour Hexa10 ou les hexagones "de type Bloc10", hexagones possédant cette propriété.
14) Annexe indispensable : la rosace de Diane et autres rosaces.
15) Des puzzles à propos de nombreuses figures rencontrées avec des mêmes pièces-éléments cmmunes
16) Synthèse? Tous Les Pavages ?
17) Bibliographie
.... et encore quelques Compléments les dernières figures en attente
Conclusion Partie II ... et vers Conclusion
NOTE : les termes utilisés (ossature, structure, ... ayant mêmes éléments de symétrie que ...) sont un peu vagues, peut-être volontairement, en particulier parce que le pavage par Penta15 est le pavage par ce pavé pentagone et que les autres pavages sont des pavages par des blocs de trois pavés ou des pavages par des tuiles ayant la même aire que le bloc de trois pavés Penta15. Néanmoins, comme l'unicité du pavage par Penta15 a été prouvée, la connaissance d'un bloc de trois, ou d'une tuile, permet de retrouver chacun des pavés du pavage par Penta15. On peut ignorer dans notre recherche, au moins momentanément, les symétries liant seulement les trois pavés.
